اعداد فیثاغورسی

اعداد فيثاغورسي در دوران قديم، مصريان ميدانستند كه مثلثي به طول اضلاع 3 و 4 و 5 ، قائم ا لزاويه است. امروزه دليل اين مطلب با توجه به قضيه ي فيثاغورس روشن است زيرا:

3 ² + 4 ² = 5 ²       9 + 16 = 25 

به سه تايي هايي مانند (3و4و5) كه اعداد طبيعي اند و اضلاع يك مثلث قائم الزاويه را تشكيل ميدهند سه تايي هاي فيثاغورسي ميگويند. حال سؤال اين است كه چگونه ميتوان تمامي سه تايي هاي فيثاغورسي را شناسايي كرد. در ادامه ، ميخواهيم به اين سؤال پاسخ دهيم:

الف. اگر a, b , c  سه تايي فيثاغورسي باشد، آنگاه  ka, kb, kc هم سه تايي هاي فيثاغورسي هستند. ( k يك عدد طبيعي است). به چنين سه تايي هايي ، سه تایی های  متشابه ميگوييم. مثلاً (3و4و5) و (6و8و10) متشابه است.

 ب. دو سه تایی ( 3و4و5 ) و (5 و 12و 13 ) هر دو فیثاغورسی اند اما سه تایی های متشابه نیستند . 

 با استفاده از رابطه زیر می توان بی شمار سه تایی فیثاغورسی غیرمتشابه ساخت .   

 (a ² - b ² ) ² + (2ab) ² = (a ² + b ² ) ² 

a , b  هر دو عدد طبیعی هستند مثال : 

  a= 5 , b=2 

 (5 ² - 2 ² ) ² + (2*5*2) ² = (5 ² +2 ² ) ² 

( 25 - 4 ) ²  + ( 20 ) ² = ( 25 +4 ) ² 

 ( 21 , 20 , 29 )  سه تایی فیثاغورسی هستند . 

تربیع مستطیل

تربیع مستطیل یعنی رسم مربعی که مساحت آن با مساحت مستطیل مفروض برابر باشد.در ادامه روش رسم مربعی که مساحت آن با مساحت مستطیل مورد نظر ما برابر باشد را شرح خواهم داد:

مطابق شکل زیر مستطیل  را در نظر گرفته و به مرکز  و شعاع  دایره ای رسم می کنیم تا امتداد   را در نقطه  قطع کند.سپس نقطه  وسط پاره خط  را بدست می آوریم.حال به مرکز  و شعاع  دایره ای رسم می کنیم تا امتداد  را در نقطه قطع کند در اینصورت مربعی به ضلع  ،مربع مطلوب است.

 

 

اعداد مثلثی

عدد مثلثي

یک عدد مثلثی برابر تعداد نقاط موجود در یک شبکه‌ی مثلثی است که در سطر اول آن یک نقطه وجود دارد و سطرهای دیگر آن هریک، یک نقطه بیش‌تر از سطر قبلی خود دارند.

به‌طور مثال

همان‌گونه که در شکل 1 مشاهده می‌کنید اعداد 1و3و6و10و15و21و .....  اعداد مثلثی هستند.

 

 

 

 

به‌عبارت دیگر امین عدد مثلثی معادل است با مجموع اعداد طبیعی 1 تا  که مقدار این عدد معادل  خواهد بود.

اعداد مثلثی خواص جالبی دارند.

به‌طور مثال

مجموع دو عدد مثلثی متوالی یک «عدد مربع کامل » است. در واقع

مجموع دو عدد مثلثی متوالی برابر مربع اختلاف‌شان است.

 مثال :  برای  دو عدد 6 و 10  داریم :                                     

10+6 = 16 = ( 10-6 ) ²= 4 ² 

 

اثبات به صورت شهودی 

 

چه كنيم كه دانش آموز موفقي باشيم ؟

 

1 سعي کنيد در ايام تابستان ، کتابهاي علمي و کتابهاي مربوط به رشته ي تحصيلي يا شغلي که دوست داريد ، بخوانيد و اطلاعات عمومي قوي در هر زمينه اي(مخصوصا" در زمينه هاي مورد علاقه تان) داشته باشيد. مثلا" وقتي کسي از شما پرسيد ، مي خواهي چه کاره شوي؟ و يا چه رشته اي را دوست داري؟ بايد بتوانيد ، بي درنگ و با ارائه ي اطلاعات موثق و منطقي ( نه بر اساس حرف عامه ي مردم ) به او پاسخ دهيد. 

2- با پيش مطالعه ي قبلي سر کلاس درس حاضر شويد. هميشه سر کلاس ، حرفي براي زدن داشته باشيد. 

3- با يک روحيه ي فعال و شاداب سر کلاسهاي درس شرکت کنيد. با همکلاسي هاي خود رقابت سالم داشته باشيد و سعي کنيد در يادگيري دروس به هم کمک کنيد تا دست آخر خدا هم به شما کمک کند.

 
4- با دقت و تمرکز فراوان به درس گوش کنيد و هر جايي که ابهامي بود، از معلم خود (نه از دانش آموزان ديگر) بپرسيد. نگذاريد اشکالات و ابهامات، در ذهن شما انباشته شوند و بزودي تبديل به يک ضعف علمي بزرگ شوند. 

5- درس هر روز را همان روز در خانه بخوانيد و کمي از تمرينهايش را حل کنيد. 
اين کار کمک مي کند ، مطلب کاملا" در ذهن شما حک شود ، چون تازه آنرا آموخته ايد و يادگيري اوليه، کاملا" در ذهنتان وجود دارد ، پس با يک مرور بلافاصله ،مراحل يادگيري در ذهن را کامل مي کنيد. 

کوچکترین ریاضی دان جهان:

رياضيدان كوچكي كه طول او به زحمت به 3 ميلي‌متر مي‌رسد، به نام

شپشك درخت توس، احتمالاً در يكي از دانشكده‌ها (كه لااقل از نظر

مردمان دور مانده(، رياضيات را فراگرفته است! زيرا مي‌تواند چنان

مسأله‌هايي را حل كند كه شايد حتي يكي از دانش‌آموزان هم حاضر

نباشد سر خود را به خاطر آن‌ها به درد آورد. شپشك به وسيله‌ي

خرطومش برگ درختان خلنگ، توسكا و راش را از وسط به دو طرف تا كنار

برگ مي‌جود. سپس دو نيمه‌ي برگ را به هم مي‌پيچد و لوله‌اي درست

مي كند و تخم‌هاي خود را در آن پنهان مي‌كند تا محفوظ باشند.

منحني‌هايي كه اين شپشك برگ را طبق آن‌ها مي‌جود، خصوصيت عجيبي

دارند. انگار شپشك براي رسم منحني دايره شكل، خط‌هايي را كه عمود بر

كناره برگ هستند تصور كرده، و منحني‌اي را مي‌كشد كه بر اين خط‌ ها

مماس باشد! حشره‌ي با استعداد براي نيمه‌ي دوم برگ زحمت زيادي

ندارد. نيمه‌ي دوم را روي نيمه‌ي اول مي‌پيچاند و نيمه‌ي دوم برش خود را

انجام مي‌دهد. ( براي حل چنين مسأله‌ی دشواري، كه نياز به شكل‌ها و

محاسبه‌هاي بسياري دارد، شپشك تنها نيم ساعت وقت صرف مي‌كند! )

مي‌توانيد از وسيله‌اي كه در اختيار دارد براي رسم منحني شپشك

استفاده كنيد. البته كار شپشك، عكس كار شماست. شما دايره را داريد،

كناره‌ي برگ را مي كشيد. ولي او كناره‌ي برگ را دارد و دايره را مي‌كشد !

 

این مطلب از وبلاگ علاقه و شوق ریاضیات انتخاب شده است.

چند تا ست ؟

انتخاب راه حل

به هنگام بازدید از یک بیمارستان روانى، از روان‌ پزشک پرسیدم
شما چطور می‌فهمید که یک بیمار روانى به بسترى شدن در بیمارستان نیاز دارد یا نه؟
روان‌پزشک گفت:
ما وان حمام را پر از آب می‌کنیم و یک قاشق چایخورى، یک فنجان و یک سطل جلوى بیمار می‌گذاریم و از او می‌خواهیم که وان را خالى کند.
من گفتم: آهان! فهمیدم. آدم عادى باید سطل را بردارد چون بزرگ‌ تر است.
روان‌پزشک گفت: نه! آدم عادى درپوش زیر آب وان را بر می‌دارد… شما می‌خواهید تختتان کنار پنجره باشد؟

********

1-  راه حل همیشه در گزینه های پیشنهادی نیست.
2-  در حل مشکل و در هنگام تصمیم گیری هدفمان یادمان نرود .

در حکایت فوق هدف خالی کردن آب وان است نه استفاده از ابزار پیشنهادی.
3- همه راه حل ها همیشه در تیر رس نگاه نیست.

 

به نظر شما اتوبوس به کدو م طرف حرکت می کنه؟

با دقت به شکل نگاه کن.
می‌تونی جواب بدی
.

.
.

.
.

.
.
.
(جواب‌های ممکن، چپ یا راست هست)
درباره‌اش فکر کن
.
.
.
.
.
.
.
هنوز نمی‌دونی؟
.
.
.
.

از بچه‌های پیش‌دبستانی این سؤال پرسیده شد.

.
.
.
بچه‌های پیش‌دبستانی همگی جواب دادند: «چپ»
.
.
.
وقتی ازشون پرسیدن که چرا فکر می‌کنید اتوبوس داره به طرف چپ می‌ره؟
اونا جواب دادن:
.
.
.
.
«چون توی عکس، نمی‌تونی در اتوبوس رو ببینی.»
.
.
..
الآن چه احساسی داری؟
می‌دونم. من هم همین‌طور!

 

 

نمایش اعداد رادیکالی روی محور

نمایش هندسی اعداد بر روی محور اعداد (خط حقیقی) همیشه از اهمیّت خاصی برخوردار بوده است. البته نمایش اعداد طبیعی،اعداد صحیح و اعداد گویا نسبتا ساده است ولی نمایش هندسی اعداد گنگ (اصمّ) نیازمند اطلاعات هندسی بیشتری می باشند حتی بعضی از مواقع مساله بغرنج تر می شود به این معنی که همه اعداد گنگ ترسیم پذیر نیستند.البته ما بنا نداریم به صورت پیشرفته وارد این بحث شویم بلکه فقط می خواهیم در حد ریاضیات پایه  هشتم مطالبی را ارائه دهیم. به زعم تاریخ به نظر می رسد اولین عدد گنگ که بشر به آن دست یافته است   می باشد . در تاریخ ریاضیات آمده است که کسی که راز اعداد گنگ را فاش کرد سوزانده شد.گرچه گرفتن جان یک انسان تنفر برانگیز بوده و هیچ عقل سلیمی آن را نمی پسندد ولی فاش شدن این راز دریچه جدیدی از ریاضیات را به سوی بشر گشود.در ادامه ترجیح می دهم به بحث ساده ی خودمون یعنی نمایش اعداد گنگ بر روی محور اعداد بپردازم.

در حد کتاب درسی معمولا اعداد گنگ  ،  ،  ،   بیشتر ظاهر می شوند و دانش آموزان معمولا با یاد گرفتن رسم این اعداد می توانند از عهده حل تمرینات و سئوالات امتحانی برآیند به همین دلیل ما نیز بیشتر به این اعداد و مشتقات آن ها می پردازیم .
برای ساختن طول هایی به اندازه اعداد گنگ بالا از قضیه فیثاعورس کمک می گیریم.روش ساخت راذیلا شرح می دهم:
برای ساخت طولی به اندازه  از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 باشند وتر این مثلث برابر  است.

برای ساخت طولی به اندازه  از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 و باشند وتر این مثلث برابر  است.

برای ساخت طولی به اندازه  از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 1 و 2باشند وتر این مثلث برابر  است.

برای ساخت طولی به اندازه  از مثلث قائم الزاویه ای استفاده می کنیم که طول اضلاع زاویه قائمه آن برابر 2 و 2باشند وتر این مثلث برابر  است.

 برای پیداکردن نقطه متناظر با اعداد گنگ کافیست ما همین مثلث ها را روی محور اعداد بسازیم.مثلا برای پیدا کردن نقطه متناظر با عدد  کافیست پاره خط بین صفر و یک را یک ضلع مثلث در نظر گرفته و در نقطه1 پاره خطی به طول 1 عمود کنیم و نقطه انتهایی پاره خط عمود را به مبداء وصل کنیم تا مثلث قائم الزاویه ساخته شود با توجه به توضیحات ارائه شده طول وتر برابر  می باشد. اکنون به مرکز مبداء وشعاعی برابر طول وتر این مثلث دایره ای رسم می کنیم (چون  مثبت است کافیست کمانی از دایره را رسم کنیم که محور را در سمت راست مبداء قطع می کند) نقطه برخورد دایره با محور را مشخص می کنیم این نقطه متناظر عدداست. انیمیشن زیر توضیحات بالا را تکمیل خواهد کرد.

در ادامه نقاط متناظر با اعداد گنگ دیگری را روی محور نمایش می دهیم.

رسم  به دو روش:

روش رسم  :

روش رسم  :

در ادامه اعداد گنگی را رسم می کنیم که به صورت ترکیب یک عدد صحیح و یک عدد رادیکالی می باشند:

برگرفته از :minoomath.mihanblog.com

خطای دید

 

 

 

  

ویرایش نهایی ریاضی نهم

 برای دریافت فایل pdf  کتاب نهم اینجا کلیک کنید . ( نسخه دوم کتاب ( ویرایش جدید ) )